René Descartesin La Géométrie ilmestyi Leydenissa vuonna 1637. Silloin Descartes oli jo kauan harrastanut matematiikkaa, mutta Geometria oli hänen ensimmäinen matemaattinen julkaisunsa, ja se jäi myös ainoaksi. Myöhemminkin hän vielä ratkaisee matemaattisia kysymyksiä kirjeenvaihdossaan, mutta päähuomio keskittyy yhä selvemmin filosofiaan; luonnon tutkimus säilyy mukana (Principia 1644), mutta se alkaa saada leimansa enemmän filosofisesta systeemistä. Ja se on vahinko, sillä ymmärtääkseni Descartes oli tieteilijänä menestyksekkäämpi kuin filosofina, ja Geometrian matemaattinen teoria oli hänen paras saavutuksensa.
Geometria, Optiikka ja Meteorologia ilmestyivät
samassa niteessä kuin kuuluisa Metodin esitys. Niiden on tarkoitus
olla filosofisen perusteoksen liitteitä tai sovellutuksia. Mutta onko
ainakaan Geometrialla mitään sisällöllistä
yhteyttä filosofiseen metodikirjaan? Descartes ei siinä viittaa
filosofiaan, ei käytä mitään filosofisia tuloksiaan,
ja metodista hän lausuu vain eräitä sinänsä teräviä
huomautuksia käsitteellisesti yksinkertaisten ja systemaattisten menetelmien
puolesta.
Pinnan alla on kuitenkin ajatuskulkuja, jotka yhdistävät Descartesin
filosofista ja matemaattista ohjelmaa. Ensinnäkin hän oli argumentoinut
osoittaakseen vanhan alkeislogiikan riittämättömyyden, ja
Geometriassa hän nyt antaa konkreettisia esimerkkejä matemaattisista
tehtävistä, jotka vaativat uudenlaista päättelyä.
Tämän aiheen yksityiskohdat ovat kiistanalaisia, enkä yritä
nyt käsitellä niitä. Toinen näkökohta on yleisluontoisempi:
Descartes epäilemättä ajatteli matemaattisen suorituksensa
kuuluvan osaksi tieteellistä maailmankuvaa, osaksi rationaalista kokonaisnäkemystä,
joka mahdollistaa todellisuuden luotettavan kuvaamisen vähillä
premisseillä.
Jos Descartesin ihanteena siis olikin mahdollisimman laaja yleistys,
vastaansanomaton ilmeisyys ja täsmällinen demonstraatio, ja vaikka
hänen tyylinsä jälleen on eleganttia, hänen Geometriansa
on varsin vaivalloinen lukea. Siihen vaikuttaa, että teksti on
erittäin tiivistä: 120 sivulla käsitellään aivan
erilaisia probleemoita ja tuodaan mukaan nopeassa tahdissa yhä uusia
keksintöjä. Useissa kohdissa Descartes vain mainitsee tulokset
ja sivuuttaa todistukset viittauksella; toisinaan hän sivuuttaa tuloksetkin
sanoen vain, että ne ovat edellisten kanssa analogisia. Herkullinen
on hänen omahyväisyytensä: "Tässä muuten olen
jättänyt pois useimmat todistukset, koska ne näyttivät
niin helpoilta, että kunhan vaivaudutte tutkimaan niitä järjestelmällisesti
ne löytyvät
itsestään; ja on hyödyllisempää oppia ne sillä
lailla kuin lukemalla."
Kerran hän kirjoittaa Mersennelle: "Kaikki korjausehdotukset ovat koskeneet vain selventämistä lukijoiden avuksi, mutta ne ovat yleensä olleet niin häijyjä että aivan inhottavat minua."
Jonkinlainen luettavuus pelastuu, koska Descartes käyttää tehokasta symboliikkaa. (Se ei ole triviaali asia kuten voi oivaltaa, jos ajattelee, millaista olisi matematiikan tekeminen ilman symboliikkaa.) Hän puhuttelee geometristen konstruktioittensa olioita johdonmukaisesti kirjainsymboleilla; aritmeettisia toimituksia hän tiivistää uusilla merkinnöillään. Potenssien eksponentit ja juurimerkit ovat peräisin Descartesin Geometriasta. Mutta kaikkein kauaskantoisin symboliikan saavutus on järjestelmällinen vakioiden ja variaabelien erottelu. Descartes merkitsee vakioita, "annettuja", kirjaimin a, b, c, ja muuttujia x, y, z,, aivan kuten nykyisessäkin matematiikassa merkitään, ja sitä paitsi hän oli täysin selvillä siitä mitä muuttujat ovat. Tässä hän pääsee pitemmälle kuin edeltäjänsä. Matemaattisessa tehtävässä eri muuttujilla on määrätty keskinäinen riippuvuus; yksinkertaisimmassa tapauksessa suureen x tiettyä arvoa, jokaista sen mahdollisista arvoista, vastaa myös muuttujan y tietty arvo. Nykyisin tämä ilmaistaan sanomalla, että y on x:n funktio, y = f(x). Descartes ei vielä käytä tätä puhetapaa, mutta itse asian hän on löytänyt. Funktionaalinen tarkastelu antaa matemaattisille tilanteille ratkaisevasti syvällisemmän sisällön. (Luonnollisesti sitä oli aiemminkin implisiittisesti sovellettu, mutta ei tehty variaabelitekniikalla selväksi.)
Descartesin esitys on suppea, mutta se sopii tavallaan yhteen hänen tavoitteensa kanssa. Hän nimittäin sanoo ja myös käytännössä osoittaa, että hän haluaa redusoida probleemoita pieneen määrään perusprobleemoita ja alkeellisia operaatioita, joita oikein kombinoimalla voitaisiin johtaa edistyneemmät tulokset. Hän oli tyytymätön siihen, että jokainen klassisen geometrian teoreema piti todistaa erikseen ja uudella vaivannäöllä. Pyrkiessään korvaamaan probleemat yksinkertaisemmilla hän otti ratkaisevan askelen, joka merkitsee analyyttisen geometrian syntyä: Kreikkalaisissa geometrisissa konstruktioissa täytyy lisätä ja vähentää janoja, kertoa niitä (suorakaiteiksi), jakaa niitä ja ottaa neliöjuuria. Descartes toteaa, että jos jollekin janalle valitaan yksikköpituus 1, jolloin kaikki pituudet saavat mittaluvun, nämä operaatiot voidaan suorittaa yhtä hyvin aritmeettisesti, pituuksien mittaluvuilla. Vaikka siis konstruktio Descartesin mielestä tapahtuu geometrisilla olioilla, kaikki laskut voidaan tehdä aritmeettisesti, koska janoilla on numeeriset arvot. Ja tämä helpottaa asiaa suuresti. Probleemien ratkaisemiseksi täytyy vain laskutoimituksilla osoittaa, että eräät luvut täyttävät asianmukaisia ehtoja.
Funktionaalinen ote johtaa koordinaatistoihin, sillä käyrät,
joita Descartesin geometria käsittelee, voidaan tulkita funktioiden
kuvaajiksi koordinaatistossa. Tasossa jokaisella pisteellä on kaksi
koordinaattia x ja y, ja käyrän S kaikilla pisteillä nämä
koordinaatit täyttävät jonkin ehdon. Termi "karteesinen
koordinaatisto" on tullut tutuksi, mutta itse asiassa Descartes ei
vaatinut että koordinaatisto olisi suorakulmainen, eikä hän
myöskään keksinyt sitä ensimmäisenä. Fermat
oli jo käyttänyt koordinaattiesitystä, ja Fermat ja Descartes
toisistaan riippumatta selittävät, että käyrät
geometrisessa koordinaatistossa ovat funktioiden kuvaajia. Descartes etenee
päättelemällä myös toisin päin, että
algebrallinen lauseke voi olla käyrän yhtälö ja että
yhtälöä muuttamalla saadaan aikaan säännöllisiä
geometrisia muutoksia. Descartes olisi kelpuuttanut geometrian piiriin vain
sellaiset käyrät, joiden yhtälö on, kuten nykyisin sanottaisiin,
algebrallinen, so. muodostettavissa kertomalla ja summaamalla muuttujien
potensseja. Leibniz oli tässä jo vapaamielisempi, ja todellisuudessa
Descartes itsekin tutki myös ei-algebrallisia käyriä. (Ja
algebrallistenkin käyrien luokka on paljon laajempi kuin kreikkalaisen
geometrian käyrien.)
Geometriaan mahtuu ratkaistaviksi vain vähän konkreettisia
geometrisia esimerkkejä, jotka on niin ollen valittu edustavasti. Lähtökohtana
ovat selvästi myöhäisantiikin suurten geometrikkojen (Pappos,
Apollonios, Diofantos) säilyneet teokset. Mutta Descartes tekee selväksi,
että hän aikoo sekä yleisyydessä että ratkaisuvoimassa
selvästi ylittää kreikkalaiset, ja niinpä hän ratkaiseekin
muutaman entisille metodeille ylivoimaisen probleeman. Ei liene syytä
ryhtyä tässä selostamaan mitään Descartesin esimerkkiä,
joiden joukossa on nykyisenkin mittapuun mukaan
vaativia tehtäviä. Sen sijaan sanon jotain yleisestä menettelytavasta,
jota hän probleemoissaan noudattaa.
Hän käsittelee geometrisia probleemoitaan konstruktiotehtävinä: tiettyjen oletusten määrittelemässä kuviossa on löydettävä vaatimukset täyttävä jana tai piste. Yksinkertaisimmat tehtävät Geometrian I kirjassa ratkeavat suoralla laskulla ja antavat tuloksen, joka ei riipu tuntemattomasta. Mutta tyypillisempi on mahdollisuus, että kysytty y saa eri arvoja jonkin tuntemattoman x eri arvoilla. Tällöin "täytyy aluksi olettaa, että ratkaisu on jo saatu", toisin sanoen, että konstruoitava jana on jo kuviossa paikallaan, ja sitten tulee geometristen suhteiden perusteella päätellä, mitä voidaan sanoa tämän janan pituudesta y. Kuvion eri osia vertailemalla voidaan löytää useita ehtoja, joita suureiden y,x,z,a,b,c, pitäisi keskenään täyttää. Näitä ehtoja algebrallisesti sieventämällä ja käsittelemällä voidaan päästä tilanteeseen, jossa yhdelle tuntemattomalle saadaan kaksi lauseketta. Kirjoittamalla niiden välille yhtälö, on yksi tuntemattomista saatu eliminoiduksi. Jos näitä yhtälöitä löytyy yhtä paljon kuin on tuntemattomia, ratkaisu on yksikäsitteinen; jos yksi vähemmän, ratkaisussa on yksi vapaa muuttuja; ja niin edespäin. Hän jatkaa havainnoilla tärkeiden yhtälöiden asteluvusta, käyrien leikkauspisteistä, ja monesta muusta seurauksesta. Mutta riittäköön huomautus, että itse perusargumentaatio on paitsi erittäin tehokas myös filosofisesti kiinnostava.
Hyvin tärkeitä ovat Descartesin tulokset käyrien luokittelusta
eri tyyppeihin kompleksisuuden mukaan niin, että geometrisen konstruktiotavan
ja yhtälön asteen yhteys ilmenee. Hän antaa myös säännön
käyrän normaaleille ja tangenteille. Ohimennen hän vihjaa
mahdollisuuteen, että analyyttinen geometria soveltuisi kolmiulotteiseen
avaruuteen. Siinä hän siis ennakoi myöhempää kehitystä,
mutta epäillessään, ettei käyrän viivan pituudesta
voi mielekkäästi puhua, hän on vastakkain myöhemmän
integraalilaskennan kanssa. Geometrian III kirja sisältää
vielä materiaalia, joka ei näytä lainkaan geometriselta,
nimittäin teoriaa niiden yhtälöiden käsittelystä,
joita probleemoissa syntyy. Descartes osoittaa huomattavaa teknistä
virtuositeettia näyttäessään, kuinka monimutkaisia yhtälöitä
voidaan järjestelmällisesti palauttaa yksinkertaisempaa muotoon
vaihtamalla muuttujia ja ottamalla tekijöitä. Hänellä
on metodi polynomin rationaalijuurten löytämiseksi ja kohtalaisen
selvä käsitys yhtälön positiivisista, negatiivisista
ja imaginaarisista
juurista.
Ilmeisesti Descartes suhtautui matematiikkaan kuten taiteisiinkin melko lailla hyödyn kannalta. Hän on innokas korostamaan matematiikan sovellettavuutta, sen arvoa luonnon tutkimuksessa. Niinpä Geometriassa on pitkä jakso optiikasta, jossa hän johtaa yhtälöt sellaisten linssien muodolle, jotka taittavat valoa vaaditulla tavalla. Muualla hän myös muistaa korostaa, että fysiikan systeemi käyttää matematiikkaa. (Tosin hän ei itse tehnyt tällaista matematisoitua systeemiä, ja hänen fysiikkansa kvantitatiiviset tulokset ovat täysin vääriä.)
Descartesin päähuomio Geometriassa oli konstruktiotehtävissä. Hän teki nimenomaan geometriaa ja suoritti konstruktioita, joissa hänellä oli ennennäkemättömän tehokas väline, keksimänsä algebrallinen tekniikka, joka tekee analyyttisen geometrian mahdolliseksi. Myöhempi aika on vaihtanut näkökulmaa: konstruktiotehtävät ovat enää sovellutus, pääasia on analyyttinen esitystapa, jolla koko geometria voidaan esittää systemaattisesti, abstraktisti ja havainnosta riippumatta. (Tässä mielessä Husserlin ajatus eurooppalaisen tieteen kartesiolaisesta taustasta sopii ehkä paremmin seuraajiin kuin Descartesiin itseensä.) Descartesin tekstin vaikeus haittasi hänen teoriansa tunnetuksi tulemista useita kommentaareja ja selitysteoksia julkaistiin ja ennen pitkää ajattelutapa oli toisenlainen kuin hänellä. Mutta näin kehittynyt analyyttinen geometria oli 1700- ja 1800-luvun klassisessa matematiikassa kulmakivi, jota käytettiin lähes kaikilla aloilla.
Analyyttinen geometria lienee menettänyt asemiaan matematiikan alkeisopetuksessa. Siksi täytyy korostaa sen merkitystä filosofin peruskoulutuksessa. Älkää käsittäkö minua väärin! En tarkoita, että se antaisi erityisen suvereenin kyvyn sotkeutua filosofisiin kysymyksiin. Tarkoitan vain, että se kuuluu alkeelliseen yleissivistykseen. Ja epäilemättä se on korvaamattoman tärkeä René Descartesin ajattelun ymmärtämiseksi.
